線形計画問題

読み方、または別称:せんけいけいかくもんだい

線形計画問題(せんけいけいかくもんだい)とは、最適化問題で目的関数が線型関数となる。そして、線形関数の等式と不等式で制約条件が記述できる問題のことである。行列やベクトルを使って表現すると、行列Aとベクトルb,cが与えられた時、Ax=b,x _0を満たしながらcTxを最小化するベクトルxを求める問題を指す。

これを標準型といい、制約条件に線形不等式を含んでいる問題も、スラック変数を加えると簡単に標準型に変換することが可能となる。また、最大化問題の場合は、目的関数の符号を反転させることで最小化問題となる。

線形計画問題を解くアルゴリズムとしては、1947年にG.B. Dantzig提案の「シンプレックス法」が有名である。これは、実用上は高速であり、ほとんど常に変数の数・制約条件の数の大きいほうのオーダーを反復する。

しかし、Dantzigが提唱したものは理論的には多項式時間アルゴリズムではなく、常に多項式時間で解かれるピボット規則の存在性も、未解決問題となっている。

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