有限要素法

有限要素法とは

有限要素法（ゆうげんようそほう、Finite Element Method, FEM）は数値解析手法の一つ。構造力学分野で発達し、他の分野でも広く使われている手法。その背景となる理論も
、関数解析と結びついて、数学的に整然としたものである。

有限要素法は、解析的に解くことが難しい微分方程式の近似解を数値的に得る方法の一つである。領域全体の支配方程式を小領域に分割し、各小領域には比較的単純で共通な補間関数を用いながらも全体の補間精度を上げることができる。
補間方法としては、ガラーキン法（重み関数使用）やレイリー・リッツ法（最小ポテンシャル原理使用）を使用するが、両方式は同じ弱形式を与える。
解析対象領域内で成り立つ方程式に対してある重み関数の積を施し、それを領域内で積分した弱形式を形成する。
解析領域内部をさらに小さな有限範囲の「要素」に分割する。一般的に、要素はその境界に節点が配置され、要素内部の場は各節点に対応する形状関数と節点の値の積の和として表現される（このことにより、使用する形状関数には一定の制限がある）。
有限要素法では非常に多くの要素が定式されており、問題に応じて使い分けられるようになっている。
解析領域全体の弱形式は積分で表されるため、各々の要素内の積分の総和としても表す事ができる。そのため、各要素の各節点における未知数に対してこの積分を適用する事で各要素のマトリクス（連立一次方程式の左辺行列）を作成する（未知数は変位、速度、圧力など。右辺ベクトルも同時に形成される）。
実際の問題では要素領域内の積分を解析的に行う事は難しいため，領域の補間関数の次数に応じてガウス・ルジャンドル法などの数値積分を用いることが多い。
次に、各要素におけるマトリクスの総和を施す事で領域全体のマトリクスを作成し、解を求めることができる。
線形問題・非線形問題・動的解析など、さまざまな解法がある。
全体のマトリクスは一般的に疎行列となるため、使用記憶領域削減／解析速度向上のため、様々なソルバーが存在する。

• 出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』
• [ 有限要素法の改定履歴 ]