アルゴリズム の 共役勾配法に関する解説。

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共役勾配法

読み方、または別称:きょうやくこうばいほう

共役勾配法(きょうやくこうばいほう、conjugate gradient method)とは、連立一次方程式を解くためのアルゴリズムである。連立一次方程式は、対称正定値行列を係数とする。反復法として利用され、直接法では大きすぎて取り扱うことができない。
また、大規模な疎行列を解くためにも用いられ、そのような問題は偏微分方程式など数値的に解く際に現れる。ちなみに、エネルギー最小化などの最適化問題を解くためにも、共役勾配法が用いられる場合もある。
双共役勾配法は、共役勾配法の非対称問題への拡張であり、非線形問題を解くために非線形共役勾配法がいくつか提案されている。
正規方程式に対する共役勾配法は、A Aが任意の行列に対し、対称(半)正定値となるため、系数行列をA A、右辺をA bで解く。これによって、共役勾配法を任意のn×m行列に対し適用することができる。要するに、A Ax=A b。
反復法としては、A Aを明示的に保持する必要がないため、行列ベクトル積と転置行列ベクトル積を計算すれば良い。

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